Cent semble plus grand que deux. Pourtant, une longueur de 100 nanomètres est vingt fois plus petite qu’une longueur de 2 micromètres. Le piège se trouve dans l’unité. Voici une méthode pour comparer ces valeurs, puis comprendre ce qu’un graphique linéaire ou logarithmique permet de voir.
Ce texte est proposé par la rédaction Découvertes Scientifiques. Les objets A et B des exercices sont fictifs. Les calculs ne décrivent ni une cellule réelle ni la performance d’un matériau. L’objectif est de comprendre une comparaison numérique, sans lui faire dire plus qu’elle ne dit.
Une unité avant un classement
Une grandeur et le nombre utilisé pour la décrire ne sont pas la même chose. Un mètre et cent centimètres désignent la même longueur. Écrire un nombre plus élevé ne fait pas grandir l’objet : on a simplement choisi une unité plus petite.
La brochure du Système international du BIPM donne les préfixes. Nano signifie un milliardième, soit 10⁻⁹. Micro signifie un millionième, soit 10⁻⁶. Le micromètre est donc mille fois plus long que le nanomètre.
Partons de deux longueurs : A = 100 nm et B = 2 µm. Convertissons-les en mètres : A = 100 × 10⁻⁹ m = 10⁻⁷ m ; B = 2 × 10⁻⁶ m. On peut aussi rester en nanomètres : A = 100 nm et B = 2 000 nm. Le classement devient évident : B est plus long.
Cette première étape évite un autre piège. On ne compare pas une longueur et une masse en les faisant entrer de force dans la même table. Les unités doivent porter sur des grandeurs compatibles. Passer d’un volume à une masse demande une information supplémentaire, comme la masse volumique du matériau concerné.
Deux résultats pour deux questions
Le rapport B/A vaut 2 000/100 = 20. Il répond à la question « combien de fois ? ». B représente vingt fois A. Ce rapport n’a pas d’unité : le nanomètre apparaît au numérateur et au dénominateur, puis se simplifie.
La différence B − A vaut 1 900 nm, soit 1,9 µm. Elle répond à la question « combien de plus ? ». Elle garde une unité de longueur. Dire « vingt fois » et dire « 1,9 micromètre de plus » ne sont donc pas deux façons interchangeables de nommer le même calcul.
On peut vérifier la cohérence en changeant la référence. A/B vaut 100/2 000 = 0,05. A représente cinq centièmes de B. Les deux longueurs restent inchangées : seul le dénominateur de la comparaison a changé. Préciser la référence permet au lecteur de comprendre un pourcentage ou un rapport.
Quand une petite barre disparaît
Prenons maintenant trois longueurs fictives : 1 mm, 1 cm et 1 m. En mètres, elles deviennent 0,001 ; 0,01 ; 1. Leurs rapports à la première valent 1, 10 et 1 000.
Sur un graphique linéaire dont les barres commencent à zéro, la plus grande sera mille fois plus longue que la plus petite. La petite barre peut devenir presque invisible sur un écran. Cela ne signifie pas que le graphique a oublié la valeur ; l’écart entre les valeurs est simplement très grand.
Une échelle logarithmique répond à une autre question. Elle représente les positions par le logarithme des valeurs. Avec le logarithme décimal, multiplier par dix fait avancer d’un même intervalle. De 1 à 10 et de 10 à 100, l’écart graphique est identique, alors que la différence arithmétique ne l’est pas.
Dans notre exemple exprimé en mètres, les positions log₁₀ valent −3, −2 et 0. Entre 1 mm et 1 cm, il y a un ordre de grandeur ; entre 1 cm et 1 m, il y en a deux. Une différence de position traduit ici un facteur, pas une différence de longueur. Le zéro d’une échelle logarithmique en mètres correspond à 1 m, puisque log₁₀(1) = 0 ; il ne correspond pas à une longueur nulle.
L’écart entre A et B
Revenons à 100 nm et 2 µm. Leur rapport vaut 20. L’écart logarithmique vaut log₁₀(20), environ 1,301. Ce n’est donc pas un écart exact de deux ordres de grandeur, qui correspondrait à un facteur 100.
Il faut distinguer cet écart de la puissance qui encadre une valeur particulière. Dans l’unité mètre, 100 nm vaut 10⁻⁷ m. Une autre unité donnerait une autre puissance pour le nombre écrit. En revanche, le rapport entre deux longueurs ne change pas si on convertit correctement les deux dans la même unité.
Certains cours appellent « ordre de grandeur » la puissance de dix la plus proche ; d’autres commencent par une puissance encadrante. Préciser la convention évite un désaccord de vocabulaire. Pour notre comparaison, annoncer le rapport exact et expliquer l’échelle est souvent plus clair que de laisser cette convention implicite.
Un exercice à faire sur papier
Avant de regarder le corrigé, comparez 90 secondes et 2 minutes. Quelle durée est la plus longue ? Quel est leur rapport ? Quelle est leur différence ? Que change l’inversion de la référence ?
Corrigé : 2 minutes valent 120 secondes. La seconde durée est donc la plus longue. Son rapport à 90 secondes vaut 120/90 = 4/3, environ 1,33. La différence vaut 30 secondes. Avec 120 secondes comme référence, le rapport inverse vaut 90/120 = 0,75. Aucune de ces phrases ne transforme les durées ; chacune décrit une question différente. Autre exercice fictif : deux cubes ont des arêtes de 100 nm et 2 µm. La seconde arête est vingt fois plus longue. Peut-on en déduire que le second cube est seulement vingt fois plus volumineux ? Non : une face carrée est décrite par deux longueurs multipliées, et un volume de cube par trois. Les rapports des aires correspondantes et des volumes valent donc 20² = 400 et 20³ = 8 000. Vérification dans une seule unité : les arêtes valent 0,1 µm et 2 µm ; leurs faces ont des aires de 0,01 µm² et 4 µm², leurs volumes valent 0,001 µm³ et 8 µm³. Les unités au carré et au cube doivent suivre les opérations. Ce résultat suppose des objets géométriquement semblables : on ne l’applique pas à deux objets de formes arbitraires en connaissant seulement leur longueur maximale. On ne peut pas non plus conclure à un rapport de masses sans information sur leur masse volumique et leur composition. Cet exercice ne décrit aucune particule réelle. Il montre pourquoi le nom de la grandeur compte autant que les chiffres. Pour contrôler un résultat, écrivez successivement la grandeur cherchée, son unité, le facteur de longueur, puis la puissance pertinente. Si la question porte sur une durée, une aire ne peut pas apparaître dans la réponse ; si elle porte sur un volume, une simple conversion de longueur n’achève pas le raisonnement.
Pour refaire ces calculs et emporter un tableau ou un graphique, la rédaction Découvertes Scientifiques, que je représente ici, propose son comparateur d’ordres de grandeur. Il accepte deux à huit valeurs de la même famille et fournit des exports CSV, SVG ou texte sans compte. Le calcul reste dans le navigateur. Il peut compléter le raisonnement sur papier ; il ne le remplace pas.
Les chiffres affichés ne sont pas une nouvelle mesure
Un outil peut calculer davantage de décimales qu’une personne n’en écrit à la main. Cela ne crée aucune précision expérimentale. Si la longueur initiale est incertaine, changer d’unité ne fait pas disparaître cette incertitude. Exemple fictif : une longueur estimée à 100 nm avec une incertitude-type de 5 nm devient 0,100 µm avec une incertitude-type de 0,005 µm. Le rapport 5/100 = 0,005/0,100 = 0,05 reste égal à 5 %. Écrire 0,100000 µm ne rend pas la mesure plus précise. Cette conversion est exacte parce que le facteur entre nanomètre et micromètre est défini ; elle ne corrige ni un biais instrumental ni une mauvaise procédure. Autre distinction utile : deux contributions indépendantes déjà exprimées sous forme d’incertitudes-types de 0,03 et 0,04 mm se combinent par la racine de la somme des carrés : √(0,03² + 0,04²) = 0,05 mm. Leur somme 0,07 mm ne correspond pas à cette règle de combinaison. Si elles sont corrélées, ce calcul simplifié ne convient plus. Enfin, multiplier 0,05 mm par un facteur de couverture 2 donne 0,10 mm, mais ne permet pas à lui seul d’affirmer une probabilité de couverture : il faut documenter le modèle et les distributions. Les chiffres de cet exemple servent uniquement à distinguer conversion, combinaison et couverture ; ils ne décrivent aucun étalonnage réel.
La méthode à retenir tient en quatre étapes : vérifier la grandeur, convertir dans une unité commune, nommer le rapport ou la différence demandée, puis lire la légende du graphique. Une comparaison devient beaucoup plus facile à interpréter quand on sait quelle question son nombre et son dessin cherchent à résoudre. Avant de partager un export, ajoutez un cinquième contrôle : l’unité doit voyager avec les valeurs. Considérons un tableau fictif dont deux lignes portent respectivement « A ; 100 ; nm » et « B ; 2 ; µm ». Si un logiciel ne reçoit que la colonne numérique, il peut classer 100 au-dessus de 2. Ce tri est correct pour les nombres isolés, mais faux pour comparer les longueurs. Une table de travail plus sûre conserve une colonne pour la valeur initiale, une pour l’unité initiale et une pour la valeur convertie dans l’unité commune. Pour cet exemple, les valeurs converties en nanomètres sont 100 et 2 000. Donnez aussi un nom précis à chaque résultat : « longueur en nm », « rapport à A, sans unité » ou « différence avec A en nm ». Une colonne intitulée seulement « résultat » ne permet pas au destinataire de retrouver la question. Dans un CSV, le choix du séparateur et du symbole décimal doit être indiqué ; une virgule décimale ne doit pas être interprétée comme une séparation de colonnes. Ouvrez le fichier exporté dans un second lecteur et vérifiez le nombre de colonnes, les unités et au moins une ligne connue. Enfin, conserver les données initiales permet de corriger une conversion sans ressaisir toute la série. Ce contrôle de transmission ne crée aucune mesure nouvelle. Il évite simplement qu’un calcul juste devienne trompeur lorsque son unité, sa référence ou sa légende disparaît au moment du partage.
Source primaire Bureau international des poids et mesures, Brochure sur le Système international d’unités : préfixes, unités et conventions. Consultée le 11 octobre 2026. https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure
Les exemples, exercices et explications ci-dessus sont originaux. Le texte ne rapporte pas une expérience conduite par la rédaction et ne reprend aucune figure tierce.